一次不定方程式のおすすめの解き方  その2

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2017/08/26 一次不定方程式のおすすめの解き方  その2

 

それでは次に その1の例2 のようにはなかなか簡単にはできないものを
例3
不定方程式 45x+32y=1 の整数解をすべて求めよ   ③

まず 例1 のように 方程式 45x+32y=0 の整数解を求めます

かなり超簡単ですね

( かなり超簡単でない人は電話で質問してください。丁寧にお教えいたします )
その通り!  x=32k,y=-45k (kは整数) です!   ④

( 注 x=ー32k,y=45k (kは整数) でも オーケー! )
次に 45x+32y=1

を満たす xとyの整数の値を1組探してください

今回は これが 難しいのですね!

それでは 「45x+32y=1 を満たす xとyの整数の値を1組探してください」

の 解き方を示します

まず xとyの係数の大きいほう 45 を分けて

 

45=32+13 より ③の式は

(32+13)x+32y=1        左辺を展開して32で因数分解
13x+32(x+y)=1

ここで 32=13×2+6 より

13x+(13x2+6)(x+y)=1

13x+13x2(x+y)+6(x+y)=1

13(x+2x+2y)+6(x+y)=1

13(3x+2y)+6(x+y)=1

ここまでくれば

3x+2y=1  x+y=-2

とすればよいことが すぐわかる

これより  x=5  y=-7    ⑤

 

④と⑤をたして

 

x=5+32k,y=-7-45k (kは整数)

 

これが 例3 の答えです

 

 

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